數值分析是連接微積分無限精確性與機器有限限制之間的橋樑。雖然微積分尋求函數 $\phi(t)$ 的精確形式，但計算則追求一個能模擬其行為的可靠數值表。
理論基礎
在進行任何計算之前，我們必須確保搜尋不會徒勞無功。我們首先從 初值問題（IVP）：
$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$
定理 2.4.2 指出在 $t_0$ 附近某個區間內，給定問題存在唯一解 $y = \phi(t)$。這一保證使我們的數值方法具有合理性；若不存在解或解不唯一，則我們的算法可能收斂於無意義結果，甚至完全發散。
積分橋樑
幾乎所有數值方法都具有相同的數學基因，源自微積分基本定理。我們可以將解 $\phi(t)$ 從一點到另一點的演化過程，以一個精確的恆等式表示：
$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$
透過代入微分方程 $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$，我們得到 重建公式：
$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$
從連續到離散
電腦無法計算未知函數 $\phi(t)$ 的積分。因此，我們 離散化。在最簡單的情況下，我們將 $f(t, \phi(t))$ 下方的面積近似為一個寬度為 $h = t_{n+1} - t_n$、高度取自起始點 $f(t_n, y_n)$ 的矩形。這種從曲線積分跳躍到陰影矩形的轉變（如圖 8.1.1 所示）產生了 歐拉公式：
離散化步驟
$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$
這裡，$y_n$ 代表真實值 $\phi(t_n)$ 的數值近似。此矩形近似的誤差稱為局部截斷誤差。
🎯 核心原理
數值方法通過對導數在小子區間上的積分進行近似，將微分方程轉化為代數迭代。近似品質取決於我們如何表示曲線 $f(t, y)$ 底下的面積。